Методические указания по выполнению и оформлению контрольных работ индивидуальные задания

РОССИЙСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

• 
  основные понятия аналитической геометрии;
  
• 
  основные понятия и теоремы линейной алгебры;
  

• 
  анализировать управленческие проблемы с применением полученных знаний в области аналитической геометрии;
  
• 
  использовать математический аппарат теории матриц, анализировать и решать системы линейных уравнений;
  
• 
  ставить и решать простейшие задачи линейного программирования;
  
• 
  применять математические понятия и методы анализа при исследовании сложных процессов и выработке обоснованных управленческих решений.
  

• 
  чтение лекций;
  
• 
  проведение семинарских занятий.
  

1. 
   Предмет и метод аналитической геометрии. Начальные понятия геометрии.
   
2. 
   Направленные отрезки на оси. Величина направленного отрезка. Линейные операции над направленными отрезками.
   

1. 
   Декартовы координаты на прямой.
   
2. 
   Декартовы координаты на плоскости.
   
3. 
   Расстояние между двумя точками на плоскости.
   
4. 
   Определение координат точки на плоскости, делящей отрезок в данном отношении.
   
5. 
   Прямая на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом.
   
6. 
   Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
   
7. 
   Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
   
8. 
   Прямая на плоскости: уравнение прямой в отрезках.
   
9. 
   Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
   
10. 
    Построение прямой на плоскости по его уравнению.
    
11. 
    Определение угла между двумя прямыми на плоскости.
    
12. 
    Условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
    
13. 
    Условие параллельности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
    
14. 
    Условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
    
15. 
    Условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
    
16. 
    Исследование взаимного расположения пар прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
    
17. 
    Нахождение координат точки пересечения прямых на плоскости.
    
18. 
    Расстояние от данной точки до данной прямой на плоскости.
    
19. 
    Линейное уравнение, определение решения линейного уравнения. Равносильность линейных уравнений. Противоречивые и тривиальные уравнения. Общий вид решения уравнения.
    
20. 
    Системы линейных уравнений: определение решения системы линейных уравнений. Свойства систем уравнений: совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Аналогия с исследованием взаимного расположения двух прямых на плоскости.
    
21. 
    Эквивалентность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, приводящие к эквивалентным системам линейных уравнений.
    
22. 
    Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод исключения переменных). Основные шаги, прямой и обратный ход метода.
    
23. 
    Три варианта завершения прямого хода метода Гаусса: а) система несовместная, б) система совместная и неопределенная; в) система совместная и определенная.
    
24. 
    Общее и частное решение системы линейных уравнений. Привести пример.
    
25. 
    Матрицы, операции над ними и их свойства: сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц.
    
26. 
    Произведение матриц: умножение матрицы строки на матрицу-столбец; умножение матрицы на столбец; умножение строки на матрицу; умножение матриц.
    
27. 
    Условия существования произведения матриц. Свойства операции умножения матриц.
    
28. 
    Возведение матрицы в степень, условие существования степени матрицы.
    
29. 
    Понятие определителя матрицы. Формулы для вычисления определителей 2-го и третьего порядков. Свойства определителя.
    
30. 
    Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Исследование систем с определителем, равным нулю.
    
31. 
    Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы. Теорема Лапласа. Вычисление определителей методом разложения по строке или столбцу.
    
32. 
    Обратная матрица: определение, условие существования. Присоединенная матрица.
    
33. 
    Алгоритм вычисления обратной матрицы.
    
34. 
    Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
    
35. 
    Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы.
    
36. 
    Исследование систем линейных уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.
    
37. 
    Матричное моделирование: модель Леонтьева. Стоимостной межотраслевой баланс. Матрица прямых затрат.
    
38. 
    Матричное моделирование: модель Леонтьева. Главное уравнение модели. Основная задача межотраслевого баланса и ее решение. Матрица полных затрат. Продуктивные матрицы.
    
39. 
    Базисное решение. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
    
40. 
    Векторы на плоскости и в пространстве: определение, параллельный перенос, равенство векторов. Классы равных векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.
    
41. 
    Операции над векторами и их свойства.
    
42. 
    Линейные пространства: определение, примеры.
    
43. 
    Координаты вектора. Декартова система координат в пространстве. Радиус-векторы: взаимнооднозначное соответствие между точками и направленными отрезками. Связь координат коллинеарных векторов.
    
44. 
    Линейно зависимые системы векторов и их свойства.
    
45. 
    Линейно независимые системы векторов и их свойства.
    
46. 
    Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по базису.
    
47. 
    n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.
    
48. 
    Линейная зависимость и системы линейных уравнений. Связь ранга матрицы с базисом системы векторов.
    
49. 
    Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
    
50. 
    Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристическое уравнение линейного оператора.
    
51. 
    Свойства собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.
    
52. 
    Квадратичные формы. Матрично-векторный вид квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы.
    
53. 
    Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы.
    
54. 
    Общее уравнение кривой второго порядка. Определение вида кривой второго порядка по коэффициентам ее уравнения.
    
55. 
    Окружность: определение. Общее и каноническое уравнения окружности. Пример приведения общего уравнения окружности к каноническому.
    
56. 
    Эллипс: определение. Общее и каноническое уравнения эллипса. Пример приведения общего уравнения эллипса к каноническому.
    
57. 
    Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет. Различные соотношения коэффициентов канонического уравнения эллипса и соответствующие им расположения эллипса на плоскости.
    
58. 
    Гипербола: определение. Общее и каноническое уравнения гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Координаты фокусов гиперболы и уравнения его асимптот.
    
59. 
    Различные соотношения коэффициентов канонического уравнения гиперболы и соответствующие им расположения гиперболы на плоскости. Обратная пропорциональная зависимость как частный случай гиперболы.
    
60. 
    Парабола: определение. Общее и каноническое уравнения параболы. Пример приведения общего уравнения параболы к каноническому.
    
61. 
    Координаты вершины и фокуса параболы. Уравнение директрисы параболы.
    
62. 
    Скалярное произведение векторов и его свойства.
    
63. 
    Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. Нормальный вектор прямой (на плоскости) и плоскости (в пространстве).
    
64. 
    Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках.
    
65. 
    Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.
    
66. 
    Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
    
67. 
    Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
    
68. 
    Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
    
69. 
    Линейное программирование: понятие и примеры. Линейные задачи оптимизации. Системы линейных неравенств и их геометрические образы.
    
70. 
    I классический пример задачи линейного программирования – задача о ресурсах.
    
71. 
    Стандартная форма задачи линейного программирования. Область допустимых решений задачи, целевая функция задачи линейного программирования.
    
72. 
    Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования.
    
73. 
    Двойственная задача линейного программирования.
    
74. 
    Теоремы двойственности.
    
75. 
    II классический пример задачи линейного программирования - транспортная задача.
    
76. 
    Каноническая форма задачи линейного программирования, свойства решений задач линейного программирования. Основные идеи симплексного метода решения задач линейного программирования.
    
77. 
    Вычислительная схема симплекс-метода: стадии и итерации.
    

1. 
   Лекции по высшей математике. [Электронный ресурс]: Электронный учебник. – [сор. 2004 - 2009]. – Режим доступа: http://www.mathelp.spb.ru/index1.htm
   
2. 
   Прикладная математика. Справочник математических формул. Примеры и задачи с решениями. [Электронный ресурс]. – [сop. 2004-2009]. – Режим доступа: http://www.pm298.ru/index.htm
   
3. 
   Матвеев С.В. Пособие по векторной алгебре. [Электронный ресурс]: Электронный учебник веб-сайта EqWorld – [сop. 2004-2009 А. Д. Полянин]. – Режим доступа: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/angeometry.htm
   
4. 
   Линейное программирование. [Электронный ресурс]. – [сop. 2004 Семен Гирич]. – Режим доступа: http://first.boom.ru/Products/Theory/theory.htm
   

1. 
   Декартовы координаты точек на прямой и на плоскости.
   
2. 
   Расстояние между двумя точками на плоскости.
   
3. 
   Определение координат точки на плоскости, делящей отрезок в данном отношении.
   

1. 
   На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек А(2;3) и В(5;6).
   
2. 
   Даны точки А(-2;4), В(6;-2) и С(-5; 0). Найти координаты точки D, делящей отрезок ВС в отношении , где |АB| - расстояние между точками А и В, а |АС| - расстояние между точками А и С.
   

1. 
   Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. 6-е изд. − М.:Айрис-пресс, 2008. Гл. 4, § 1, с.118-130.
   
2. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: учебник для ВУЗов. 7-е изд., стер. − М.: Физматлит, 2006. − Гл. 1, с. 13-21.
   

1. 
   Уравнение с угловым коэффициентом.
   
2. 
   Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
   
3. 
   Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
   
4. 
   Уравнение прямой в отрезках.
   
5. 
   Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
   
6. 
   Построение прямой на плоскости по его уравнению.
   
7. 
   Объяснение индивидуального задания по аналитической геометрии.
   

1. 
   Даны точки А(-2;4), В(6;-2). Составить уравнение прямой, проходящей через точку А и точку В.
   
2. 
   Построить прямую, задаваемую уравнением
   

1. 
   Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. 6-е изд. − М.:Айрис-пресс, 2008. Гл. 4, § 2, с. 131-140.
   
2. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: учебник для ВУЗов. 7-е изд., стер. − М.: Физматлит, 2006. − Гл. 5, с. 111-118.
   

1. 
   Определение угла между двумя прямыми на плоскости.
   
2. 
   Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
   
3. 
   Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
   
4. 
   Исследование взаимного расположения пар прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
   
5. 
   Нахождение координат точки пересечения прямых на плоскости.
   
6. 
   Расстояние от данной точки до данной прямой на плоскости.
   

1. 
   Найти точку пересечения прямых L1 и L2
   

1. 
   Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. 6-е изд. − М.:Айрис-пресс, 2008. Гл. 4, § 2, с. 136-146.
   
2. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: учебник для ВУЗов. 7-е изд., стер. − М.: Физматлит, 2006. − Гл. 5, с. 118-121.
   

1. 
   Линейное уравнение, определение решения линейного уравнения. Равносильность линейных уравнений. Противоречивые и тривиальные уравнения. Общий вид решения уравнения.
   
2. 
   Системы линейных уравнений: определение решения системы линейных уравнений. Свойства систем уравнений: совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Аналогия с исследованием взаимного расположения двух прямых на плоскости.
   
3. 
   Эквивалентность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, приводящие к эквивалентным системам линейных уравнений.
   
4. 
   Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод исключения переменных). Основные шаги, прямой и обратный ход метода.
   
5. 
   Три варианта завершения прямого хода метода Гаусса: а) система несовместная, б) система совместная и неопределенная; в) система совместная и определенная.
   
6. 
   Общее и частное решение системы линейных уравнений.
   

1. 
   Найти методом Гаусса общее решение и одно частное решение системы уравнений
   

2. 
   Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
   

1. 
   Матрицы, операции над ними и их свойства: сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц.
   
2. 
   Произведение матриц: умножение матрицы строки на матрицу-столбец; умножение матрицы на столбец; умножение строки на матрицу; умножение матриц.
   
3. 
   Условия существования произведения матриц. Свойства операции умножения матриц.
   
4. 
   Возведение матрицы в степень, условие существования степени матрицы.
   

1. 
   Вычислите значение выражения 4*А ─ 9*В, где
   

2. 
   Приведите пример, когда произведение матриц не существует. Объясните, как вычисляется и вычислите элемент с₁₂ матрицы С = А*В для матриц А и В из задания 1.
   
3. 
   Вычислить значение выражения P(A) = A2 − 4·A + 13·E, где
   

1. 
   Понятие определителя матрицы. Формулы для вычисления определителей 2-го и третьего порядков. Свойства определителя.
   
2. 
   Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы. Теорема Лапласа. Вычисление определителей методом разложения по строке или столбцу.
   
3. 
   Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
   

1. 
   Вычислить определитель матрицы системы
   

2. 
   Решить систему уравнений из задания 1 по правилу Крамера.
   

1. 
   Обратная матрица: определение, условие существования. Присоединенная матрица.
   
2. 
   Алгоритм вычисления обратной матрицы.
   
3. 
   Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
   

1. 
   Вычислить методом присоединенной матрицы обратную матрицу к матрице системы из задания 1 темы 6.
   
2. 
   Проверить, является ли матрица обратной к матрице системы из задания 1 темы 6. Если это верно, то найти решение системы уравнений из задания задания 1 темы 6 методом обратной матрицы. Если неверно, то ответ обосновать и описать метод обратной матрицы.
   

1. 
   Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы.
   
2. 
   Исследование систем линейных уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.
   

1. 
   Вычислить ранг матрицы системы линейных уравнений
   

1. 
   Базисный минор, базисные и свободные переменные. Базисное решение.
   
2. 
   Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
   
3. 
   Неоднородные системы линейных уравнений. Связь общих решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений.
   
4. 
   Объяснение индивидуального задания по линейной алгебре.
   

1. 
   Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, указать базисный минор, базисные и свободные переменные. Найти базисное решение.
   

2. 
   Записать общее решение системы линейных уравнений
   

1. 
   Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. 6-е изд. − М.:Айрис-пресс, 2008. Гл. 2, § 2, с. 77-84.
   
2. 
   Общий курс высшей математики для экономистов: учебник. / Под редакцией В.И. Ермакова. М.: ИНФРА – М, 2006. с. 93-100.
   

1. 
   Векторы на плоскости и в пространстве: определение, параллельный перенос, равенство векторов. Классы равных векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. Операции над векторами и их свойства.
   
2. 
   Линейные пространства: определение, примеры.
   
3. 
   Координаты вектора. Декартова система координат в пространстве. Радиус-векторы: взаимнооднозначное соответствие между точками и направленными отрезками. Связь координат коллинеарных векторов.
   
4. 
   Линейно зависимые системы векторов и их свойства. Линейно независимые системы векторов и их свойства.
   
5. 
   Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по базису.
   
6. 
   n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.
   
7. 
   Линейная зависимость и системы линейных уравнений. Связь ранга матрицы с базисом системы векторов.
   
8. 
   Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. Нормальный вектор прямой (на плоскости) и плоскости (в пространстве).
   

1. 
   Даны два вектора a = (1, 0, 1) и b =(-1, 2, -1). Определить, при каком m векторы m a + 2b и a - b: а) коллинеарны; б) ортогональны.
   

1. 
   Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. 6-е изд. − М.:Айрис-пресс, 2008. Гл. 3, §§ 1, 2, с. 91-105.
   
2. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: учебник для ВУЗов. 7-е изд., стер. − М.: Физматлит, 2006. − Гл. 2, с. 42-58.
   

1. 
   Лекции по высшей математике. [Электронный ресурс]: Электронный учебник. – [сор. 2004 - 2009]. – Режим доступа: http://www.mathelp.spb.ru/index1.htm
   
2. 
   Матвеев С.В. Пособие по векторной алгебре. [Электронный ресурс]: Электронный учебник веб-сайта EqWorld – [сop. 2004-2009 А. Д. Полянин]. – Режим доступа: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/angeometry.htm
   

1. 
   Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
   
2. 
   Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристическое уравнение линейного оператора.
   
3. 
   Свойства собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.