Учебно-методическое пособие по выполнению самостоятельной работы для студентов направления 100100. 65 "Сервис"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса» (ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС») Кавминводский институт сервиса (филиал) (КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС») Мороз П.С. Полякова Р.И. Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие по выполнению самостоятельной работы для студентов направления 100100.65 "Сервис" Пятигорск 2013 г. УДК 517 ББК 22.1 М/П 80 Кафедра «Информационные системы, технологии и связь» Составители: к.т.н., доцент Мороз П.С., ст. преподаватель Полякова Р.И. Рецензент: к.б.н., доцент С.А. Полунина. М/П 80 Мороз П.С., Полякова Р.И. Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие по выполнению самостоятельной работы для студентов направления 100100.65 "Сервис" Пятигорск: КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС», 2013-21с. Данные методические указания по математике раздел «Линейная алгебра» содержит краткий теоретический материал и решения типовых задач. Приведен список литературы. Методические указания предназначены для студентов очной, заочной форм и дистанционной формы обучения. Методические указания печатается по решению Научно-методического совета КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС» для внутривузовского издания (протокол №4 от 08.02.2013г.) © КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС» © Мороз П.С., Полякова Р.И.. Содержание. Матрицы Операции над матрицами Определители квадратной матрицы Свойства определителей Минор Алгебраические дополнения Вычисление определителей любого порядка Обратная матрица Правила нахождения обратной матрицы Ранг матрицы Системы линейных уравнений Однородные системы Задачи для самостоятельной работы Литература 1.Матрицы. Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов: A= Или, сокращенно (aij), i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. aij- элементы матрицы. mn- размер матрицы. Пример: Матрица A= является матрицей размера 2 4. Если mn ,то матрица размера n n называется квадратной, а число n –ее порядком. Элементы а11,а12,…,аnn образуют главную диагональ. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если элементы диагональной матрицы равны единице, то матрицу называют единичной. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой или нуль – матрицей. Две матрицы А и В называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любых i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n. Операции над матрицами. 1.Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно: C=А +В ,если сij = aij + bij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n. Пример: Найти сумму матриц А и В А=, В=. Решение: С=А+В=. 2.Умножение матрицы на число – каждый элемент матрицы умножается на это число: B = A, если bij= aij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n. Пример: Найти 3А, если А=. Решение: 3А=3 = . 3.Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы матрицы В: cij =; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n. Пример: Найти произведение матриц А и В А=, В=. Решение: Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,то произведение матриц существует и матрицу С=АВ найдём, пользуясь правилом умножения матриц С=АВ= = = . 4.Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице А, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка атij = aji; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n. Пример: Найти А, транспонированную к матрице А, если А = . Решение. По определению поменяем строки и столбцы местами, получим А= . 5.Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1): A= Пример: Найти А, если А = . Решение. Умножим матрицу А на матрицу А два раза, получим по правилу умножения матриц А. А= = = . 2.Определители квадратных матриц. Определитель – число, характеризующее матрицу. Определителем квадратной матрицы первого порядка А=(аij), называется элемент а11: = |А| = aij Пример: Пусть А = (3),тогда = |А| =3 Определителем квадратной матрицы второго порядка А=(аij), называется Число, которое вычисляется по формуле: Определителем квадратной матрицы третьего порядка А=(аij), называется число, которое вычисляется по формуле: Определители третьего порядка вычисляются по правилу «треугольников», где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема): ******************** (+) Свойства определителей. Рассмотрим свойства определителей 2-го и 3-го порядков, но они справедливы для определителей любого порядка. 1.При замене строк столбцами величина определителя не меняется. Поменяем ролями первую строку и первый столбец. Пример: =2 – 15 = -13. =2 – 15 =-13. В определители строки равноправны со столбцами. 2.При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак. Поменяем местами строки Пример: =2 – 15 = -13. =15- 2=13. 3.Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. Пример: =2 – 15 = -13. 4.Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно выносить за знак определителя. Пример: = = 10= 10 ( 12 - 5)= 70. 5.Если все элементы какого-нибудь ряда (столбца или строки) умножить на одно и то же число k, то значение определителя увеличится в k раз. = Пример: = 6 – 63 = -57. = 3= 3 (2 – 21) = (-19) = -57. 6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю. = 7.Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю. Пример: 8.Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответственным слагаемым. = 9.Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда (столбца или строки) прибавить (или от них вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки), предварительно умножив их на один и тот же произвольный множитель k. = = + = + k= = . 10.Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали – нули, равен произведению элементов главной диагонали. = = Минор. Минором Мij элемента aij матрицы А n-го порядка называется определитель порядка n-1,полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Пример: Для определителя минором для элемента Является определитель первого порядка, который получается из исходного вычеркиванием первой строки и первого столбца, т.е. число 4, Аналогично Пример: Для , Замечание: В определители столько миноров, сколько элементов. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+ j . , где - минор элемента . Пример: = (-1)(27 – 8) = 19. (-1) = (-1)(4 – 10) = -(-6) = 6. Вычисление определителей любого порядка. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. = = Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам первого столбца. = 2(-1) + 1(-1) + 3(-1) = = 2 - (28 – 18) + 3= 70 – 10 – 45 = 15. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если её определитель равен нулю и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица Атакая, что АА=АА=Е, где Е- единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица А называется обратной к матрице А. Если в квадратной матрице A = заменить каждый её элемент алгебраическим дополнением и транспонировать, то получим матрицу A= , которая называется присоединённой для матрицы А. Справедлива следующая теорема.

Похожие:

	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной... Н. Н. Малярчук. Безопасность жизнедеятельности: Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 100100....		Учебно-методический комплекс для студентов очной формы обучения направления 100100. 62 «Сервис» Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления 100100. 62 «Сервис» очной формы обучения
	Учебно-методический комплекс Рабочая учебная программа для студентов... Н. Н. Малярчук. Здоровый образ жизни. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная рабочая программа для студентов очной и заочной...		Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов... М 545 Методология сравнительного правоведения: учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов [Текст] / сост. И....
	Пояснительная записка учебная дисциплина «Культурология» Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения направления 100100. 62 Сервис		«московский авиационный институт» (национальный исследовательский... Учебно-методическое пособие предназначено для студентов технических факультетов, содержит программу курса «Философия» иматериалы...
	Правовое регулирование социального страхования Учебно-методическое пособие для семинарских занятий и самостоятельной работы студентов		Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по курсу... Методическое пособие подготовлено профессором кафедры разведения с Х. животных и зоотехнологий Щербатовым В. И. и доцентом Хасановой...
	Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по курсу... Методическое пособие подготовлено доцентом кафедры разведения с Х. животных и зоотехнологий Хасановой С. А		Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по курсу... Методическое пособие подготовлено профессором кафедры разведения с Х. животных и зоотехнологий Щербатовым В. И. и доцентом Хасановой...